代数符号

下标符号

下标符号表示一个变量，该变量的索引通常表示序列中的一个特定时间点或状态。

$x_{t} = q (x_{t} ∣ x_{t - 2})$

这种表示法通常用于序列和时间序列数据中，其中 x_t 表示 x 在 t 时的数值。

上标符号

上标记法用于表示指数或幂。

$x^{2} = x * x$

这种符号在多项式表达式和指数函数中使用。

范数符号

在线性代数和泛函分析中，‖𝑥‖表示向量或矩阵的“长度”或“大小”。它是对绝对值概念的推广。 norm 用于测量向量的大小或长度。最常用的范数是欧几里得范数，其计算方法如下：

$∣∣ v ∣∣ = s q r t v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + ... + v_{n}^{2}$

其他规范包括： L1 norm （曼哈顿距离）和 L∞ norm （最大绝对值）。

$∣∣ v ∣ ∣_{1} = ∣ v_{1} ∣ + ∣ v_{2} ∣ + ... + ∣ v_{n} ∣$ $∣∣ v ∣ ∣_{\infty} = ma x (∣ v_{1} ∣, ∣ v_{2} ∣, ..., ∣ v_{n} ∣)$

求和符号

求和符号表示一系列项的求和。例如： $Σ_{i = 1}^{n} a_{i}$ 代表了各项 a_1, a_2, ..., a_n 的总和。求和在许多数学公式中都有应用，包括计算平均值、方差和数列。

对数与指数

对数

log2(8) = 3

对数在信息论、密码学以及算法中得到了广泛应用，因为它们具有简化大型数值计算和处理指数型增长的能力。

自然对数

自然对数是 x 的对数，以 e 为底数（欧拉数）。例如：

$l n (e^{2}) = 2$

指数

$2^{3} = 8$ 这个函数在计算机科学中经常被使用，尤其是在二进制表示和信息论领域。

线性代数

行列式

概念

二阶行列式

我们把

{a_{1} x + b_{1} y = C_{1} a_{2} x + b_{2} y = C_{2}

这样的二元一次方程组加减消元，并加以总结x,y的消元方式，发现出行列式

a c b d = a d - b c

所以

x = \frac{c _{1} c _{2} b _{1} b _{2}}{a _{1} a _{2} b _{1} b _{2}}, y = \frac{a _{1} a _{2} c _{1} c _{2}}{a _{1} a _{2} b _{1} b _{2}}

三阶行列式

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2} a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b_{3}

得到:

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}

排序

由 $1, 2, 3, \dots\dots, n$ 组成的有序数组称为一个n阶排序，通常用 $j_{1}, j_{2} \dots\dots, j_{n}$ 表示n阶排序

一段排序中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成一个逆序

一个排序的逆序的总数称为这个排序的逆序数，用 $τ (j_{1} j_{2} \dots\dots j_{n})$ 表示逆序数

如果一个排序的逆序数是偶数，则称为偶排列；否则称为奇排序

由此可以退出n阶行列式推广公式：

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}

性质

经过转置行列式值不变

1537 = 1357

某行有公因数k可以把k提出
两行互换行列式的值变号

\dots\dots a_{i 1} \dots\dots a_{in} \dots\dots a_{j 1} \dots\dots a_{jn} \dots\dots = - \dots\dots a_{j 1} \dots\dots a_{jn} \dots\dots a_{i 1} \dots\dots a_{in} \dots\dots

如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式之和

a_{1} + b_{1} c_{1} d_{1} a_{2} + b_{2} c_{2} d_{2} a_{3} + b_{3} c_{3} d_{3} = a_{1} c_{1} d_{1} a_{2} c_{2} d_{2} a_{3} c_{3} d_{3} + b_{1} c_{1} d_{1} b_{2} c_{2} d_{2} b_{3} c_{3} d_{3}

某行的k倍加到另外一行行列式的值不变

a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} = a_{1} b_{1} + k a_{1} c_{1} a_{2} b_{2} + k a_{2} c_{2} a_{3} b_{3} + k a_{3} c_{3}

矩阵计算

矩阵与向量计算

矩阵与向量的乘法指的是矩阵 A 与向量 v 的乘积。例如：

$A * v = [[1, 2], [3, 4]] * [5, 6] = [17, 39]$

这个运算在线性代数中非常重要，被广泛应用于各种场景中，比如向量变换、线性方程组的解题，以及神经网络中数据的处理。

矩阵乘法

矩阵乘法指的是两个矩阵 A 和 B 相乘的结果。

$A * B = [[1, 2], [3, 4]] * [[5, 6], [7, 8]] = [[19, 22], [43, 50]]$

转置

矩阵 A 的第 A^T 行，通过交换其行和列，得到矩阵 A 。例如： $A = [[1, 2], [3, 4]]$ $A^{T} = [[1, 3], [2, 4]]$

集合论

基数(|s|)

基数 (cardinality) 表示集合 S 中元素的数量。

S = {1, 2, 3, 4, 5}， $∣ S ∣ = 5$

并集(U)

两个集合 A 和 B 的并集是所有在 A 或 B 中或同时在两者中的元素的集合。例如

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数学基础